Eşlik ve Benzerlik

Alt konular ve kazanımlar

1. 1Geometrik Dönüşümler

   • Geometrik dönüşümlerle ilgili çıkarım yapabilme
   • Düzlemde bir şekli hareket ettirmek için kullanılan yansıma, öteleme ve dönme dönüşümlerini tanımlar.
   • Geometrik dönüşümler sonucunda oluşan görüntülerin eşlik ilişkisini açıklar.

2. 2Eşlik ve Benzerlik Koşulları

   • İki üçgenin eş veya benzer olması için gerekli olan asgari koşullarla ilgili çıkarım yapabilme

3. 3Benzer Üçgenler Oluşturma

   • Bir üçgenden hareketle ona benzer üçgenler oluşturma ile ilgili yansıtma yapabilme
   • Bir üçgene benzer üçgenler oluşturmak için gerekli ölçümleri belirler.
   • Kenar-Açı-Kenar (KAK) benzerlik koşulunu kullanarak benzer üçgenleri oluşturur.
   • Paralel çizgilerle oluşturulan üçgenlerin benzerlik koşullarını açıklar.
   • Benzer üçgenlerin kenar oranlarını kullanarak bilinmeyen uzunlukları hesaplar.

4. 4Tales, Öklid ve Pisagor Teoremleri

   • Tales, Öklid ve Pisagor teoremlerini ispatlayabilme

5. 5Eşlik ve Benzerlik Problemleri

   • Eşlik ve benzerlikle ilgili çıkarım ve teoremleri içeren problemleri çözebilme
   • Üçgenlerde benzerlik ve eşlik özelliklerini kullanarak bilinmeyen uzunlukları bulabilmek.
   • Dönme, yansıma ve öteleme hareketlerini geometrik problemlerde uygulayabilmek.
   • Üçgenlerin eşlik ve benzerlik koşullarını kullanarak problemleri çözmek
   • Karanlık kutu (camera obscura) gibi uygulamalarda benzerlik ilişkilerini belirlemek
   1 kazanım daha

   • Geometrik şekillerin oranlarını kullanarak uzunluk hesaplamaları yapmak

6. 6Yansıma Dönüşümü ve Özellikleri

   • Düzlemde bir şeklin bir doğruya göre yansıma dönüşümü altındaki görüntüsünü oluşturur.
   • Yansıma dönüşümü sonrasında şeklin değişen ve değişmeyen özelliklerini (kenar uzunlukları, açı ölçüleri, çevre, alan) karşılaştırarak belirler.
   • Şekil üzerindeki noktalar ile görüntüleri arasındaki uzaklık ile yansıma doğrusuna uzaklıklar arasındaki ilişkiyi açıklar.

7. 7Yansıma Dönüşümü

   • Bir şeklin bir doğruya göre yansıma dönüşümü altındaki görüntüsünü oluşturur.
   • Yansıma dönüşümünün kenar uzunluklarını, açı ölçülerini, alanları ve noktalar arası uzaklıkları koruduğunu belirler.
   • Yansıma doğrusu üzerindeki noktaların görüntülerinin kendileriyle çakıştığını açıklar.
   • Bir şekil ile yansıma dönüşümü altındaki görüntüsünün eş olduğunu doğrular.
   • Simetrik şekillerin simetri ekseni olan doğruya göre yansıma dönüşümü altındaki görüntüsü ile şeklin çakıştığını ve şeklin düzlemdeki yeri ile yönünün değişmediğini açıklar.
   1 kazanım daha

   • Bir şekil üzerindeki noktalar ile şeklin yansıma dönüşümü altındaki görüntüleri olan noktaları birleştiren doğru parçalarının yansıma doğrusuna dik olduğunu ve bu doğru parçalarının birbirine paralel olduğunu açıklar.

8. 8Öteleme Dönüşümü ve Özellikleri

   • Düzlemde bir şeklin belirli bir uzaklık ve yönde öteleme dönüşümü altındaki görüntüsünün, şekil üzerindeki tüm noktaların verilen yön ve uzaklıkta ilerletilmesiyle oluşturulduğunu açıklar.
   • Öteleme dönüşümünün şekil üzerindeki kenar uzunlukları, iç açı ölçüleri, çevre uzunluğu ve alan gibi özellikleri değiştirmediğini, ancak şeklin düzlemdeki yerini değiştirdiğini belirler.

9. 9Öteleme Dönüşümü

   • Öteleme dönüşümünün özelliklerini (kenar uzunlukları, açı ölçüleri, uzaklıklar) inceleyerek genellemeler yapabilmek.
   • Öteleme dönüşümü altındaki görüntünün orijinal şekille eş olduğunu belirleyebilmek.
   • Öteleme dönüşümünün bileşenlerini (doğrultu, yön, uzaklık) tanımlayabilmek.

10. 10Yansıma ve Öteleme Dönüşümleri Arasındaki İlişki

    • Paralel doğrulara göre ardışık yansıma dönüşümlerinin bir öteleme dönüşümüne eşdeğer olduğunu keşfedebilmek.
    • İki paralel doğru arasındaki uzaklık ile oluşan öteleme dönüşümünün uzaklığı arasındaki ilişkiyi açıklayabilmek.

11. 11Paralel Doğrulara Göre Yansıma Dönüşümü

    • Düzlemde bir şekle iki paralel doğrudan birine göre yansıma dönüşümü uygulanıp elde edilen görüntüye diğer doğruya göre tekrar yansıma dönüşümü uygulanırsa şeklin, doğrular arasındaki uzaklığın iki katı kadar uzaklığa ötelenmiş olduğunu belirler.
    • Paralel doğrular arasındaki uzaklık ile şekil köşe noktalarının görüntüleri arasındaki uzaklıklar arasındaki ilişkiyi açıklar.
    • Paralel doğruların konum değiştirmesinin şekil ve uzaklıklar üzerindeki etkisini gözlemler.

12. 12Kesişen Doğrulara Göre Yansıma Dönüşümü ve Dönme

    • Kesişen doğrulardan birine göre yansıma dönüşümü uygulanarak elde edilen görüntüye diğer doğruya göre tekrar yansıma dönüşümü uygulandığında yeni bir geometrik dönüşüm (dönme) elde edildiğini açıklar.
    • Kesişen doğrulara göre çift yansıma dönüşümünün sonuçlarını (uzaklıklar, açılar, yön) analiz eder.
    • Tek bir dönüşüm (öteleme, yansıma, dönme) ile son görüntünün elde edilip edilemeyeceğini değerlendirir.

13. 13Kesişen İki Doğruya Göre Yansıma Dönüşümü

    • Düzlemde bir şekle kesişen iki doğrudan birine göre yansıma dönüşümü uygulanıp elde edilen görüntüye diğer doğruya göre tekrar yansıma dönüşümü uygulandığında şekil üzerindeki noktaların çembersel bir yol çizdiğini belirler.
    • Kesişen doğrulardan birine göre yansıma dönüşümü uygulanarak elde edilen görüntüye diğer doğruya göre tekrar yansıma dönüşümü uygulandığında elde edilen dönüşümün dönme dönüşümü olduğunu açıklar.
    • Doğruların kesim noktasının dönme merkezi, doğrular arasındaki açının ölçüsünün iki katı olan açı ölçüsü değerinin ise dönme açısı olduğunu belirler.

14. 14Dönme Dönüşümünün Özellikleri

    • Düzlemde verilen şekillerin bir nokta etrafında belirli bir açıyla ve belirli bir yönde dönme dönüşümü altındaki görüntülerini matematik yazılımı kullanarak oluşturur.
    • Dönme dönüşümü sonrasında şeklin kenar uzunlukları, iç açı ölçüleri, çevre uzunluğu, alanı ve noktaların dönme merkezine uzaklıklarının değişip değişmediğini ölçüm ve gözlem yoluyla belirler.

15. 15Dönme Dönüşümü ve Özellikleri

    • Dönme dönüşümünün düzlemdeki noktaları dönme merkezi ve açısı yardımıyla hareket ettirdiğini açıklar.
    • Dönme dönüşümünün noktalar arası uzaklıkları koruduğunu ve şeklin görüntüsü ile eşi olduğunu belirtir.
    • Dönme dönüşümünün yansıma ve öteleme dönüşümlerinden ayırt edici özelliklerini karşılaştırır.

16. 16Geleneksel Motiflerde Geometrik Dönüşümler

    • Türk-İslam mimarisi, halı ve kilim desenlerindeki geometrik dönüşümleri (dönme, yansıma, öteleme) tanımlar.
    • Farklı kültürlere ait süsleme örneklerinde kullanılan dönüşüm türlerini belirler ve ilişkilendirir.

17. 17Geometrik Dönüşümlerle Süsleme Oluşturma

    • Geometrik dönüşümlerin (öteleme, yansıma, dönme) süsleme desenlerinde nasıl kullanıldığını analiz eder.
    • Farklı kültürlere ait süsleme örneklerinde dönüşüm türlerini belirler ve yansıma doğrularını çizer.
    • Geometrik dönüşümler kullanarak özgün motif ve süsleme tasarımları oluşturur.

18. 18Geometrik Dönüşümlerin Özellikleri ve Uygulamaları

    • Geometrik dönüşümlerin uzaklık ve açıları koruduğunu, bu nedenle şekillerin eşi olduğunu açıklar.
    • Birim kareli zeminde verilen şekillerin ötelenme, yansıma ve dönme dönüşümleri altındaki görüntülerini çizer.
    • Bir şeklin düzlemdeki yerinin kesinlikle değiştiği dönüşüm türlerini matematik yazılımı ile inceleyerek açıklar.

19. 19Üçgenlerin Eş Olma Şartları

    • Dönüşümlerin geometrik şekillerin kenar uzunluklarını, açı ölçülerini, çevre uzunluğunu ve alanını koruduğunu açıklama
    • Eş üçgenlerin karşılıklı kenar uzunlukları ve açı ölçülerinin eşit olduğunu belirleme
    • İki üçgenin eş olduğunu söyleyebilmek için asgari gerekli elemanları (kenar/kenar/kenar, kenar/kenar/açı vb.) tartışma ve genelleme yapma
    • Eşlik sembolünün (≅) kullanımını ve karşılıklı köşelerin sıralamasını doğru şekilde ifade etme
    • Kenar uzunlukları eşit olan iki üçgenin eş olduğunu bilir.
    2 kazanım daha

    • Karşılıklı iki açısının ölçüsü ve karşılıklı bir kenar uzunluğu eşit olan üçgenlerin eş olduğunu bilir.
    • Karşılıklı iki kenar uzunluğu ve bu kenarların oluşturduğu açı ölçüleri eşit olan üçgenlerin eş olduğunu bilir.

20. 20Kenar-Kenar-Kenar Eşliği

    • Üç kenar uzunluğu eşit olan iki üçgenin eş olduğunu belirler.
    • Kenar uzunlukları eşit olan üçgenlerin karşılıklı açı ölçülerinin de eşit olduğunu açıklar.
    • İkizkenar üçgende tepe noktasından çizilen kenarortayın açıortay ve yükseklik olduğunu ispatlar.

21. 21Kenar-Açı-Kenar Eşliği

    • İki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açı ölçüsü eşit olan iki üçgenin eş olduğunu belirler.
    • Eş üçgenlerin karşılıklı açıları ve üçüncü kenarlarının da eşit olduğunu açıklar.

22. 22Açı-Kenar-Açı Eşliği

    • Karşılıklı ikişer açı ölçüsü ve bir kenar uzunluğu eşit olan iki üçgenin eş olduğunu belirler.
    • Sadece üç açısının ölçüsü eşit olmasının üçgenlerin eş olması için yeterli olmadığını açıklar.

23. 23Üçgenlerin Benzer Olma Şartları

    • İki üçgenin benzer olması için karşılıklı açılarının eş ve karşılıklı kenar uzunluklarının orantılı olması gerektiğini açıklar.
    • Karşılıklı üç kenar uzunluğu orantılı olan üçgenlerin benzer olduğunu (K.K.K. benzerliği) bilir.
    • İki üçgenin birer iç açılarının eş ve bu açıyı oluşturan kenar uzunluklarının oranının eşit olması durumunda benzer olduğunu bilir.

24. 24Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.) Benzerliği

    • Karşılıklı üç kenar uzunluğu orantılı olan üçgenlerin benzer olduğunu bilir.
    • Ölçekli haritalarda benzerlik oranını kullanarak gerçek mesafeleri hesaplar.

25. 25Üçgenlerin Benzerliği ve Benzerlik Oranı

    • İki üçgenin karşılıklı açıları eş ve bu açıların karşısındaki kenar uzunlukları orantılı ise üçgenlerin benzer olduğunu belirler.
    • Benzer üçgenlerin sembolik gösterimini (ABC ~ DEF) ve benzerlik oranını (k) ifade eder.
    • Benzerlik oranı 1 olan üçgenlerin eş üçgenler olduğunu açıklar.
    • Harita ölçeği ve benzerlik ilişkisi kullanarak gerçek mesafeleri hesaplar.

26. 26Açı-Açı (A.A.) Benzerliği

    • İki üçgenin karşılıklı iki açısı eş ise bu üçgenlerin benzer olduğunu (A.A. benzerliği) kanıtlar.
    • A.A. benzerliği kullanarak bilinmeyen kenar uzunluklarını ve oranları hesaplar.
    • Yöndeş açılar ve iç ters açılar kullanarak üçgenlerin benzerliğini gösterir.

27. 27Kenar-Açı-Kenar Benzerliği

    • İki üçgenin karşılıklı iki kenar uzunluğu orantılı ve bu kenarların oluşturduğu açılar eş ise bu üçgenlerin benzer olduğunu belirler.
    • Karşılıklı iki kenar uzunluğunun orantılı ve bu kenarlar arasındaki açı ölçülerinin eşit olması koşulunu kullanarak üçgenlerin benzerliğini gösterir.

28. 28Bir Üçgene Eş ve Benzer Üçgenler Oluşturma

    • Cetvel, açıölçer, pergel gibi araç gereçleri kullanarak bir üçgene eş ve benzer üçgenler oluşturur.
    • Oluşturulan üçgenlerin hangi koşula göre eş veya benzer olduğunu gösterir ve çalışmayı sunar.

29. 29Üçgen Benzerliği Kontrol Noktaları

    • Karşılıklı üç kenar uzunluğu orantılı olan üçgenlerin benzer olduğunu bilir.
    • Karşılıklı birer açısı eş ve bu açıyı oluşturan kenarların uzunlukları orantılı olan üçgenlerin benzer olduğunu bilir.
    • Karşılıklı iki açısı eş olan üçgenlerin benzer olduğunu bilir.

30. 30Eşlik ve Benzerlik Alıştırmaları

    • Dörtgenlerde ve üçgenlerde eşlik ve benzerlik koşullarını kullanarak bilinmeyen uzunlukları ve açıları hesaplar.
    • Paralel doğru ve orta nokta özelliklerini kullanarak oranları bulur.

31. 31Üçgende Orta Taban

    • Bir üçgenin iki kenarının orta noktasını birleştiren doğru parçasının (orta taban) üçüncü kenara paralel ve uzunluğunun yarısına eşit olduğunu bilir.
    • Orta taban bilgisini kullanarak üçgenlerde açı ve kenar uzunluklarını hesaplar.

32. 32Üçgenlerde Benzerlik Koşulları ve Oranlar

    • Üçgenlerde Açı-Açı (A.A.) ve Kenar-Açı-Kenar (K.A.K.) benzerlik koşullarını tanır ve uygular.
    • Benzer üçgenlerin kenarları arasındaki orantıyı kurarak bilinmeyen uzunlukları hesaplar.
    • Paralel doğruların üçgenlerde oluşturduğu benzerlik ilişkilerini açıklar.

33. 33Benzerlik Uygulamaları (Modelleme)

    • Gerçek hayat problemlerini (dağ tırmanışı, köprü modeli vb.) benzer üçgenler modeliyle çözer.
    • Dik üçgenlerde yükseklik ve benzerlik ilişkilerini kullanarak ölçü hesaplar.

34. 34Üçgenlerde Benzerlik

    • Bir üçgenin herhangi bir kenarına paralel çizilerek oluşturulan üçgenin Açı-Açı benzerliğine göre bu üçgene benzer olduğunu belirler.
    • Benzer üçgenlerin kenarları arasındaki orantıyı kurar.

35. 35Tales Teoremi

    • Birbirine paralel en az üç doğru, farklı iki kesen üzerinde orantılı doğru parçaları oluşturur teoremini açıklar.
    • Tales teoreminin ispatını benzer üçgenler oluşturarak gerçekleştirir.
    • Paralel doğrular ve kesenler arasındaki ilişkiyi kullanarak problemleri çözer.

36. 36Üçgende Orantı ve Benzerlik

    • İkizkenar üçgende katlama işlemleri sonucunda oluşan üçgenlerin çevre uzunluklarını hesaplar.
    • Dik üçgenlerde paralel doğrular yardımıyla verilen uzunluklar arasındaki bağıntıları (a = 1/b + 1/c) elde eder.
    • Tales teoremini kullanarak üçgende paralel doğrularla oluşan parçaların uzunluklarını bulur.
    • Benzer üçgenler yardımıyla rüzgâr türbini gibi yüksek nesnelerin boyunu ölçer.
    • Benzer üçgenler yardımıyla gölge uzunluklarından nesne boyunu hesaplar.
    1 kazanım daha

    • Karton kutu modeli üzerinden benzer üçgenler kullanarak görüntü boyutunu hesaplar.

37. 37Öklid Teoremi

    • Dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi ile hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımı arasındaki ilişkiyi (Öklid Teoremi) anlar ve ispat adımlarını uygular.
    • Bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi ile bu yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların uzunlukları arasındaki ilişkiyi (h² = p.k) ispatlayabilme.
    • Dik üçgenlerde hipotenüse ait yükseklik, dik kenarlar ve hipotenüs parçaları arasındaki benzerlik ilişkilerini belirleyebilme.
    • Öklid teoremini kullanarak dik üçgenlerde bilinmeyen uzunlukları hesaplayabilme.
    • Dik üçgende yükseklik, hipotenüs ve dik kenarlar arasındaki ilişkileri (h²=pk, b²=ak, c²=ap) kullanabilmek.

38. 38Pisagor Teoremi

    • Bir dik üçgenin dik kenarlarının uzunluklarının kareleri toplamı ile hipotenüs uzunluğunun karesi arasındaki ilişkiyi (a² + b² = c²) ispatlayabilme.
    • Öklid teoremi ve benzerlik kuralları kullanarak Pisagor teoreminin ispat sürecini takip edebilme.
    • Dik üçgende kenar uzunlukları arasındaki a² + b² = c² ilişkisini kullanabilmek.
    • Üçgenin türünü (dik, dar açılı, geniş açılı) kenar uzunluklarına göre belirleyebilmek.

39. 39Dik Üçgende Benzerlik ve Teorem İspatı

    • Dik üçgen içindeki alt üçgenler arasındaki benzerlik kurallarını tespit etme
    • Benzerlik kurallarına uygun kenar ilişkilerini yazma
    • Teorem ispat sürecini gerekçelendirerek açıklama

40. 40Pisagor Teoremi ve Dik Üçgen Uygulamaları

    • Dik üçgenlerde Pisagor teoremini kullanarak bilinmeyen kenar uzunluklarını hesaplama
    • Geometrik problemlerde verilen uzunlukları kullanarak çözümler üretme

41. 41Üçgende Kenar-Açı İlişkisi

    • Üçgenin bir iç açısının ölçüsüne göre karşısındaki kenar uzunluğu ile diğer kenarlar arasındaki ilişkiyi belirleyebilme.

42. 42Yansıma ve Geometrik Dönüşümler

    • Birim kareli zeminde verilen nokta ve doğru parçalarına göre ardışık yansımalar sonucunda oluşan noktalar arası uzaklığı hesaplayabilme.

43. 43Eşkenar Üçgende Oran Hesaplama

    • Eşkenar üçgen içindeki paralel doğru parçaları ve orta taban özelliklerini kullanarak kenar oranlarını hesaplayabilme.

44. 44Üçgen Eşitsizliği ve Kenar Uzunluğu Aralığı

    • Üçgen eşitsizliği ve açı-kenar ilişkisi kullanarak bilinmeyen kenar uzunluklarının değer aralıklarını belirleyebilme.

45. 45Geometrik Modelleme ve Problem Çözme Stratejileri

    • Verilen durumlarda stratejinin geçerliliğini açıklama
    • Problem verilerini geometrik şekiller ve sembollerle ifade etme
    • Çözüm için gerekli verilerin ve kavramların değişimini değerlendirme

46. 46Benzer Üçgenler ve Ölçme Problemleri

    • Açı-Açı benzerliği kullanarak yükseklik ve mesafe hesapları yapma
    • Pisagor teoremini dik üçgenlerde uygulama
    • Öklid teoremini (yükseklik teoremi) kullanarak uzunluk bulma

47. 47Öklid Teoremleri ile Problem Çözme

    • Dik üçgende yükseklik, hipotenüs ve hipotenüs üzerindeki parçalar arasındaki ilişkileri kullanarak yükseklik ve kenar uzunluklarını hesaplar.

48. 48Benzer Üçgenlerle Geometrik Modelleme ve Problem Çözme

    • Günlük hayattan problemleri geometrik modellere dönüştürerek benzer üçgenlerin benzerlik oranını hesaplar ve bilinmeyen uzunlukları bulur.

49. 49Eşlik ve Benzerlikle İlgili Problem Çözme Projesi

    • Eşlik ve benzerlik kavramlarını içeren problem durumları oluşturur veya araştırır, çözümlerini geometrik şekillerle görselleştirir ve sunar.

50. 50Üçgenlerde Benzerlik ve Eşlik Problemleri

    • Eşlik ve benzerlik koşullarını kullanarak problemleri çözmek
    • Sayısal verileri matematiksel temsillerle elde etmek ve strateji oluşturmak
    • Farklı çözüm yollarını karşılaştırmak

51. 51Dönüşümler ve Dönme Açısı

    • Öteleme, yansıma ve dönme dönüşümlerini uygulamak
    • Dönme açılarını ve ikizkenar üçgenlerin açı özelliklerini kullanarak hesaplamalar yapmak

52. 52Benzerlik ile Uzaklık Hesaplama (Tales'in Yöntemi)

    • Benzer üçgenler kullanarak gerçek hayattaki uzaklık problemlerini modellemek
    • Değişkenler arası bağıntıları kurmak ve sayısal değerleri hesaplamak

Bu ünitede sık görülen soru tipleri

• Dik koordinat sisteminde verilen şekle öteleme veya yansıma dönüşümü uygulanarak yeni koordinatların bulunması
• Verilen görsellerdeki desenlerin elde edilmesi için uygulanan geometrik dönüşümleri belirleme
• Tek bir dönüşümle desen elde edilebilirliğini ve dönüşümler arası ilişkiyi değerlendirme
• Verilen üçgenin kenarları üzerindeki noktaları birleştirerek benzer üçgen oluşturma ve benzerlik koşulunu açıklama.
• Eşit aralıklı dikilen direkler arasında tel çekilerek oluşturulan benzer üçgenlerin kenar uzunluklarını hesaplama.
• Üçgenin kenarlarına paralel çizgiler çekerek oluşan üçgenlerin benzerliğini inceleme ve koşulunu belirleme.
• Benzer üçgenler veya paralel doğrular yardımıyla uzunluk bulma
• Dönme hareketi ile oluşan şekillerde uzunluk bulma
• Katlama (yansıma) problemlerinde açı veya uzunluk bulma
• Karanlık kutu düzeneklerinde nesne ve görüntü üçgenleri arasındaki benzerlik ilişkilerini inceleyip görüntü uzunluğunu bulma stratejisi oluşturma
• Askılığa asılmış çantaların kordon uzunluklarını benzerlik oranları ve verilen yükseklikler üzerinden hesaplama
• Eş üçgenlerin birleştirilmesiyle oluşan desenlerde açı ölçülerini bulma